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Numeri primi, veri reali?

Alain Cochet
(12.04.2010)

Occorre evidentemente qualche audacia nel sostenere che esiste un possibile rapporto tra i campi della teoria dei numeri in matematica e quello della psicanalisi. Tuttavia sviluppiamo qui l’idea che esista un’omologia tra il dispiegamento dei numeri detti “primi”, che associamo a una dimensione di “reale del numero”, e ciò che riguarda il “mistero dell’inconscio”, come ha detto Lacan, ossia il reale al quale la psicanalisi si confronta a partire dalle parole degli analizzanti e dai sintomi che manifestano.

Cominciamo da questa indicazione lacaniana secondo la quale i matematici lavorano, effettuano delle costruzioni, a partire da un materiale numerico la cui l’essenza sfugge loro radicalmente.
“Non si è finito, e non si finirà prima di un certo tempo, di discutere sullo statuto dei numeri interi, ma la domanda della posizione, ontologica o no, di questi numeri è totalmente estranea all’esperienza del discorso matematico in quanto opera con essi, e che può fare questa doppia operazione – uno, costruirsi e, due, formalizzarsi” (1).

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Opera di Alessandro Taglioni

Lacan ritorna più volte sulla questione della presenza del numero in seno al linguaggio. La presenza del numero è data come facente buco nella struttura del simbolico. Tuttavia, non sono i numeri detti “reali” in matematica che causano questo non accesso all’ontologia dei numeri. Difatti questi sono delle costruzioni che suppongono un uso simbolico molto rigoroso. No, ciò che ha effetti di reale è la serie stessa degli interi.

Nella serie degli interi tutto si concatena a partire da uno, del quale conviene precisare la triplice natura. C’è difatti l’uno dell’unità, l’uno contabile che si fonda sulla differenza pura, e che rimanda alla dimensione del significante. C’è poi l’uno dell’unicità, quello della totalizzazione immaginaria che si ritrova nel nozione cantoriana di insieme. C’è infine l’uno unario (2) che rileva della marca, dello scritto: è quello che si ritrova inciso sulle ossa di animali del Maddaleniano, per esempio.

Per costituire la serie numerica degli interi, basta iterare l’operazione di addizione degli uno, di costituire degli insiemi di elementi a ogni tappa, poi di nominare questi insiemi, vale a dire di farli passare nella scrittura e nella batteria dei significanti. Addizione, costituzione d’insiemi e denominazione sono così i tre tempi necessari di un’operazione che non esiteremo a qualificare di annodatura tra reale, simbolico e immaginario.

Resta che è poi possibile di "aggiustare" gli elementi all’interno di ogni insieme. Mentre l’operazione precedente riposava sull’addizione degli 1, con le sistemazioni noi passiamo alla dimensione del prodotto e della divisione. È possibile difatti, in certi casi solamente, di operare una riorganizzazione degli elementi nello spazio seguendo le regole di simmetria. Per i numeri pari, la simmetria è bilaterale, mentre per i multipli, i numeri che sono il prodotto di parecchi altri numeri, esiste una simmetria assiale: si possono sistemare per pacchi identici gli elementi all’interno dell’insieme.

Per giungere a questo risultato, è richiesta dunque un’operazione supplementare: si tratta di una ricerca di simmetrizzazione degli elementi di un insieme-numero. Questi giochi di simmetria rinviano per noi a un certo uso dell’immaginario.

Ci sono tuttavia dei resti, vale a dire un certo numero di numeri che resistono al simmetrizzazione dei loro elementi interni: sono precisamente i numeri primi, divisibili solamente per se stessi e per 1. Ciò significa che non si possono costituire dei “pacchi” identici al loro interno, c’è sempre un 1 soprannumerario.
Ciò che cade sul fondo del contenitore, dopo la sottrazione immaginaria operata sulla serie dei numeri interi, questi sono dunque i numeri primi. Questi numeri, che sarebbe più giusto chiamare “reali”, sappiamo di loro che, finora, la logica fallisce nel definirne lo sviluppo.

La dimostrazione dell’ipotesi di Riemann resta una delle più grandi sfide matematiche di questo inizio di secolo, e sembra che i matematici non siano, ben lungi più vicini a ottenere un risultato. Nessuno propone l’idea che questa ipotesi potrebbe rivelarsi indecidibile nel senso di Gödel, ossia che si non potrebbe né affermarla, né rigettarla.
A questo riguardo, ricordiamo brevemente che Gödel ottiene il suo teorema di incompletezza a partire da un metodo di calcolo delle proposizioni dell’aritmetica, e che questa cifratura si effettua sulla base dei numeri primi.

Ci sarebbe dunque qualche cosa di aporetico, di indecidibile logicamente nell’approccio dei numeri primi? In quanto vicolo cieco fondamentale, questi numeri non sarebbero in posizione di “resto”, di deposito, sui quali la logica non avrebbe presa?

La natura apparentemente aleatoria della comparsa dei numeri primi, abbastanza analogo del resto a quella che riguarda le vibrazioni delle particelle nella meccanica quantistica, non impedisce da una parte l’esistenza deterministica sulla quale s’appoggia un certo numero di algoritmi.

Parimenti, certe regolarità appaiono quando si dispone questi numeri in diverse configurazioni nello spazio. Queste particolarità non possono che rievocare il caos deterministico, vale a dire il dispiegamento pseudo-aleatorio di elementi di un sistema di attrattori specifici, “attrattori” che possono essere detti “strani” quando possiedono un struttura frattale. Nel campo numerico è agevole ottenere la produzione di un caos deterministico a partire dall’iterazione di un’equazione di secondo grado abbastanza semplice, lo sviluppo dei valori ottenuti si rivela estremamente sensibile alle condizioni iniziali. L’iterazione in questione consiste nel reintrodurre a ogni tappa il valore ottenuto della funzione nella variabile stessa.

La possibilità di esistenza di una tale funzione la cui iterazione rinvierebbe alla produzione dei numeri primi, resta per l’istante una pura congettura. Ma l’idea che il loro sviluppo possa riportare su un campo frattale, di cui abbiamo potuto mostrare per altro (3) che poteva essere una tappa nel “serraggio” del reale, inevitabilmente interessa lo psicanalista lacaniano.

Ci pare che sia lo stesso Lacan a spingerci lungo questa via (4) quando introduce l’idea di una riscrittura in serie della coppia ordinata S→A. Se il significante non rappresenta il soggetto che per un altro significante, conveniamo di notare il primo tra loro con S e di specificare A come il “tesoro” degli altri significanti verso il quale si trovano indirizzati. Ma, tra loro, si chiede Lacan, che cosa ne è di porre come significante di una relazione un significante chi interviene in questa relazione stessa?

[disegno allo scanner: c’è nella versione francese on line]

È chiaro che A figurante nella coppia ordinata che costituisce l’insieme è preso per identico a A che designa questo stesso insieme. Il rapporto di S con A va dunque a scriversi così: (S→(S→A)), eccetera…

Questo processo non avrebbe fine, e noi otteniamo una ripetizione infinita di S senza che mai possiamo fermare l’indietreggiamento di A. Si libera dunque il carattere di imprewndibilità di A, sebbene resti sempre lo stesso. Ora, Lacan fa precisamente di A il luogo dell’Urverdrängung. Per altro, tenta di rendere conto di questa serie in termini topologici:
“Questa fuga che fa che sia nel suo interno stesso che una busta ritrova il suo esterno, non è altro che ciò che abbiamo disegnato un tempo con la forma topologica del piano proiettivo, materializzato per l’occhio dal cross-cap (5).

Sul piano della pulsione, adesso, il principio di ripetizione, reperito chiaramente da Freud come legato alla pulsione di morte, riposa anche su una pressione iterativa che mira al serraggio progressivo di un reale traumatico inaccessibile per essenza al simbolico. Questa operazione è sempre da rinnovare nella misura in cui il “buco-matismo” (6), come s’esprime Lacan, rileva di una mancanza nella struttura stessa dell’inconscio.

Un passo in più ci condurrebbe a considerare l’inconscio come costruito sul modello di un campo caotico scandagliato da un attrattore fondamentale. La disposizione pseudo-aleatoria dei significanti nell’inconscio maschererebbe di fatto l’esistenza di un attrattore specifico corrispondente all’Urverdrängt, il rimosso originario che attira a sé le catene di significanti.
Ancora meglio, il soggetto può venire da lì a costituire una trama simbolica e immaginaria sufficientemente stretta intorno al vuoto centrale, proprio là dove Freud e Lacan situano Das Ding, l’oggetto reale, ovvero si ritorna a tentare di adattarsene, di “fare con”. Tale è la funzione del fantasma per il nevrotico.
Ma questa operazione topologica di tessitura suppone la pratica di iterazioni, ben reperibili nel conteggio dei giri intorno all’oggetto, che rievocano le particolarità delle funzioni iterative nella matematica. Ora, queste possono essere legate ai fenomeni caotici e, in certi casi, ad un organizzazione frattale.

Ma ritorniamo al campo dalla teoria dei numeri. Che cos’altro è in fondo la serie degli interi se non una serie ottenuta a partire dall’iterazione di 1? La serie è qui infinita, non c’è ritorno su se stessa, nessun attrattore specifico. Invece, l’operazione di sottrazione immaginaria descritta sopra, vero bersaglio di Eratostene, togliendo da questa catena gli elementi che si basano su un’organizzazione simmetrica, sfocia sullo sviluppo di una nuova catena dalle proprietà complesse. Si tratta qui, propriamente, di un’operazione umana, e che produce un tipo di numeri che il non si incontra in natura, con l’eccezione forse del caso delle larve di cicala. Cosa che non può non rievocare il processo stesso della cura, che si distingue per un allegerimento delle coordinate immaginarie affinché possa venire alla luce il nodo reale in cui si trovano prese le catene significanti da cui dipende il soggetto a un dato momento.
Si sarebbe tentato di scriverlo così: S - I = R
Ora, la nuova catena prodotta, diciamo reale, lontano dall’essere totalmente eterogenea agli altri due ordini senza i quali non ha senso, potrebbe essere fondata sull’iterazione di un’equazione particolare, quindi appartenente al simbolico, che resta tuttavia da scoprire. Secondo le parole di Lacan, si potrebbe dire che si tratta allora “del simbolico nel reale”, e che così si trovano realizzate le condizioni di un’abissale prospettiva di fuga, che viene a sovvertire un po’ il modello del topologia borromeana.
C’è tuttavia un’altra ipotesi, che il reale in gioco sia totalmente e definitivamente fuori portata. In questo caso, tutte la costruzioni matematiche sfocerebbero su un’indecidibile. Il reale rimane allora l’“impossibile” per eccellenza, ciò su cui inciampano inesorabilmente simbolico e immaginario.

Lacan, meglio informato sui lavori di Mandelbrot, non avrebbe dato una sfumatura originale a una tale questione aperta?


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Cross-cap








(1) Jaques Lacan, D’un Altro all’altro, Seminario XVI, Parigi, Seuil, 2006, p. 100.

(2) Unario, traduzione di Lacan del termine di Freud “ein einziger Zug” [N.d.t.].

(3) Alain Cochet, Nodologie lacanienne, Parigi, L’Harmattan, 2002, p. 275.

(4) J. Lacan, op. cit., p. 57.

(5) Ibid., p. 59. Il cross-cap a un singolare piano proiettivo immerso in tre dimensioni [Cfr. foto dell’immagine di riferimento per J.Lacan].

(6) Troumatisme. Gioco di parole tra traumatisme e trou, buco. Traducendolo, il termine perde l’associazione con traumatismo [N.d.t.].



Traduzione dal francese di Giancarlo Calciolari



Marzo 2007


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