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Nombres premiers, vrais réels ?

Alain Cochet

Lacan revient à de nombreuses reprises sur la question de la présence du nombre au sein du langage. La présence du nombre y est présentée comme faisant trou dans la texture du Symbolique.

(25.04.2006)

Il y a bien évidemment quelque audace à soutenir qu’il existe un rapport possible entre le champ de la théorie des nombres en mathématiques et celui de la psychanalyse. Nous allons pourtant développer ici l’idée qu’il existe une homologie entre le déploiement des nombres dits « premiers », que nous ferons relever d’une dimension de « réel du nombre », et ce qui relève du « mystère de l’inconscient », comme s’exprime Lacan, à savoir le réel auquel la psychanalyse a affaire à partir des dires de l’analysant et des symptômes qu’il manifeste.

Commençons par cette indication lacanienne selon laquelle les mathématiciens travaillent, effectuent des constructions, à partir d’un matériau numérique dont l’essence leur échappe radicalement :
« On n’a pas fini, et on ne finira guère avant un certain temps, d’épiloguer sur le statut des nombres entiers, mais la question de la place, ontologique ou non, de ces nombres est totalement étrangère à l’expérience du discours mathématique en tant qu’il opère avec eux, et qu’il peut faire cette opération double -un, se construire et, deux, se formaliser»(1).

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Antonella Iurilli Duhamel, "Randoms", 2006


Lacan revient d’ailleurs à de nombreuses reprises sur la question de la présence du nombre au sein du langage. La présence du nombre y est présentée comme faisant trou dans la texture du Symbolique. Pourtant, ce ne sont pas les nombres dits « réels » en mathématiques qui causent cet inaccès à l’ontologie des nombres. Ceux-ci sont en effet des constructions qui supposent un maniement symbolique très rigoureux. Non, ce qui a des effets de réel, c’est la suite des entiers elle-même.

Dans la suite des entiers, tout s’enchaîne à partir du Un, dont il convient de préciser la triple nature. Il y a en effet le Un de l’unité, le 1 comptable qui se fonde de la différence pure, et qui renvoie à la dimension du signifiant. Il y a ensuite le Un de l’unicité, celui de la totalisation imaginaire que l’on retrouve dans la notion cantorienne d’ensemble. Il y a enfin le Un unaire qui relève de la marque, de l’écrit : c’est celui que l’on retrouve gravé sur les os d’animaux du Magdalénien, par exemple.

Pour constituer la suite numérique des entiers, il suffit d’itérer l’opération d’addition des 1, de constituer des ensembles d’éléments à chaque étape, puis de nommer ces ensembles, c’est à dire de les faire passer dans l’écriture et dans la batterie des signifiants. Addition, constitution d’ensembles et dénomination sont ainsi les trois temps nécessaires d’une opération que nous n’hésiterons pas à qualifier de nouage entre Réel, Symbolique et Imaginaire.
Il reste qu’il est ensuite possible d’ « arranger » les éléments à l’intérieur de chaque ensemble. Alors que l’opération précédente reposait sur l’addition des 1, nous passons avec les arrangements à la dimension du produit et de la division. Il est en effet possible, dans certains cas seulement, d’opérer une réorganisation des éléments dans l’espace en suivant des règles de symétrie. Pour les nombres pairs, la symétrie est bilatérale, alors que pour les multiples, les nombres qui sont le produit de plusieurs autres nombres, il existe une symétrie axiale : on peut ranger par paquets identiques les éléments à l’intérieur de l’ensemble.

Pour parvenir à ce résultat, une opération supplémentaire est donc requise : il s’agit d’une recherche de symétrisation des éléments d’un ensemble-nombre. Ces jeux de symétrie renvoient pour nous à un certain maniement de l’imaginaire.

Il y a toutefois des restes, c’est à dire un certain nombre de nombres qui résistent à la symétrisation de leurs éléments internes : ce sont précisément les nombres premiers, divisibles seulement par eux-même et par 1. Cela signifie qu’on ne peut constituer des « paquets » identiques à l’intérieur d’eux, il y a toujours un 1 surnuméraire.

Ce qui tombe donc au fond du sac, après soustraction imaginaire opérée sur la série des nombres entiers, ce sont les nombres premiers. Ces nombres, qu’il serait plus justifié d’appeler « réels », nous savons à leur propos que, jusqu’à aujourd’hui, la logique échoue à en cerner le déploiement. La démonstration de l’hypothèse de Riemann reste un des plus grands défis mathématiques de ce début de siècle, et il semble que les mathématiciens ne soient pas, loin s’en faut, au plus près d’obtenir un résultat. D’aucuns avancent l’idée que cette hypothèse pourrait se révéler indécidable au sens de Gödel, c’est à dire qu’on ne pourrait ni l’affirmer, ni la rejeter.

A cet égard, rappelons brièvement que Gödel obtient son théorème d’incomplétude à partir d’une méthode de chiffrage des propositions de l’arithmétique, et que ce chiffrage s’effectue sur la base des nombres premiers.

Y aurait-il donc quelque chose d’aporétique, d’indécidable logiquement dans l’abord des nombres premiers ? En tant qu’impasse fondamentale, ces nombres ne seraient-ils pas en position de reste, de dépôt, sur lesquels la logique n’aurait finalement pas de prise ?

La nature apparemment aléatoire de l’apparition des nombres premiers, assez analogue du reste à celle qui touche aux vibrations des particules en mécanique quantique, n’empêche pas l’existence d’une part déterministe sur laquelle s’appuie un certain nombre d’algorithmes. De même, certaines régularités apparaissent lorsqu’on dispose ces nombres sous diverses configurations dans l’espace.

Ces particularités ne sont pas sans évoquer le chaos déterministe, c’est à dire le déploiement pseudo-aléatoire d’éléments d’un système autour d’attracteurs spécifiques, ces attracteurs pouvant être dits « étranges » lorsqu’ils possèdent un structure fractale. Dans le champ numérique, il est aisé d’ obtenir la production d’un chaos déterministe à partir de l’itération d’une équation du second degré assez simple, le déploiement des valeurs obtenues se révélant extrêmement sensible aux conditions initiales. L’itération en question consiste à réintroduire à chaque étape la valeur obtenue de la fonction dans la variable elle-même.

La possibilité qu’il puisse exister une telle fonction, dont l’itération renverrait à la production des nombres premiers, reste pour l’instant pure conjecture. Mais l’idée que leur développement puisse reposer sur un champ fractal, dont nous avons pu montrer par ailleurs(2) qu’il pouvait être une étape dans le serrage du Réel, intéresse inévitablement le psychanalyste lacanien.

C’est que Lacan lui-même semble nous pousser dans cette voie(3) lorsqu’il introduit l’idée d’une réécriture en série de la paire ordonnée S→A. Si le signifiant ne représente le sujet que pour un autre signifiant, convenons de noter le premier d’entre eux par S et de spécifier A comme le « trésor » des autres signifiants vers lequel il se trouve adressé. Mais, se demande Lacan, qu’en est-il de poser comme signifiant d’une relation un signifiant qui intervient dans cette relation même ?


Il est clair que le A figurant dans la paire ordonnée qui constitue l’ensemble est pris pour identique au A qui désigne ce même ensemble. Le rapport de S avec A va donc s’écrire ainsi : (S → (S → A)), etc...
Ce processus ne saurait avoir de terme, et nous allons obtenir une répétition infinie du S sans que nous puissions jamais arrêter le recul du A. Se dégage donc le caractère d’insaisissabilité du A, encore qu’il reste toujours le même. Or, Lacan fait précisément du A le lieu de l’Urverdrängung. Par ailleurs, il tente de rendre compte de cette suite en termes topologiques :
« Cette fuite qui fait que c’est en son intérieur même qu’une enveloppe retrouve son dehors, n’est pas autre chose que ce que nous avons dessiné jadis sous la forme topologique du plan projectif, matérialisé pour l’œil par le cross-cap »(4).

Sur le plan de la pulsion maintenant, le principe de répétition, clairement repéré par Freud comme lié à la pulsion de mort, repose aussi sur une pression itérative visant au serrage progressif d’un réel traumatique inaccessible par essence au Symbolique. Cette opération est toujours à renouveler dans la mesure où le « trou-matisme », comme s’exprime Lacan, relève d’un manque dans la texture même de l’inconscient.

Un pas de plus nous conduirait à envisager l’inconscient comme construit sur le modèle d’un champ chaotique balisé par un attracteur fondamental. La disposition pseudo-aléatoire des signifiants dans l’inconscient masquerait de fait l’existence d’un attracteur spécifique correspondant à l’Urverdrängt, le refoulé originaire, qui attire à lui les chaînes de signifiants.

Au mieux, le sujet peut-il en venir à constituer un maillage symbolique et imaginaire suffisamment serré autour du vide central, là même où Freud et Lacan logent Das Ding, l’objet réel, ce qui revient à tenter de s’en accommoder, de « faire avec ». C’est précisément la fonction du fantasme chez le névrosé.

Mais cette opération topologique de maillage suppose la pratique d’itérations, repérables aussi bien dans le comptage des tours autour de l’objet, qui ne sont pas sans évoquer les particularités des fonctions itératives en mathématiques. Or, celles-ci peuvent être liées à des phénomènes chaotiques et, dans certains cas, à une organisation fractale.

Mais revenons au champ de la théorie des nombres. Qu’est-ce au fond d’autre que la série des entiers sinon une suite obtenue à partir de l’itération du 1 ? La suite est ici infinie, il n’y a pas de retour sur elle-même, pas d’attracteur spécifique. Par contre, l’opération de soustraction imaginaire décrite plus haut, véritable crible d’Erathostène, en ôtant de cette chaîne les éléments qui se fondent d’une organisation symétrique, débouche sur le déploiement d’une nouvelle chaîne aux propriétés complexes.

C’est là une opération proprement humaine, et qui produit un type de nombres que l’on ne rencontre pas dans la nature (à l’exception peut-être du cas des larves de cigale). Elle n’est pas sans évoquer le processus même de la cure, qui se caractérise par un délestage progressif des coordonnées imaginaires pour que puisse venir au jour le nœud réel dans lequel se trouvent prises les chaînes signifiantes dont dépend le sujet à un moment donné.
On serait tenté de l’écrire ainsi : S - I = R

Or, la nouvelle chaîne produite, réelle disons-nous, loin d’être totalement hétérogène aux deux autres ordres sans lesquels elle n’a pas de sens, pourrait être fondée sur l’itération d’une équation particulière, relevant donc du Symbolique, qui reste cependant à découvrir. Selon les mots de Lacan, on pourrait dire qu’ il y alors « du Symbolique dans le Réel », et qu’ainsi se trouvent réalisées les conditions d’une mise en abîme véritable, qui n’est pas sans venir subvertir quelque peu le modèle de la topologie borroméenne.

Il y a cependant une autre hypothèse, c’est que le réel en jeu soit totalement et définitivement hors d’atteinte. Dans ce cas, toutes les constructions mathématiques déboucheront sur une indécidabilité. Le Réel reste alors l’ « impossible » par excellence, ce sur quoi butent inexorablement Symbolique et Imaginaire.

Lacan, mieux averti des travaux de Mandelbrot, n’aurait-il pas pu donner une coloration originale à cette question béante ?

1 J. Lacan, D’un Autre à l’autre, Séminaire XVI, Seuil, 2006, p. 100
2 A. Cochet, Nodologie lacanienne, L’Harmattan, 2002, p. 275
3 J. Lacan, op. cit., p. 57
4 idem, p. 59


Alain Cochet. Rennes. Psychanalyste, mathématicien.


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30.07.2017