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A proposito del libro di Gabriele Lolli, "Da Euclide a Gödel"

Non c’è più metamatematica

Giancarlo Calciolari

La nozione di metamatematica, che resta inanalizzata nel testo di Gabriele Lolli, insegue la padronanza della matematica, solitamente attribuita all’altro (per esempio al sistemista assiomatizzante), al collega presunto sbagliare.

(17.08.2005)

"Il peggiore e più deleterio inganno è l’errore logico taciuto."
Gabriele Lolli, "Da Euclide a Gödel", pag.110.

Cominciamo per aforismi una lettura del testo di Gabriele Lolli, "Da Euclide a Gödel" (Il Mulino, 2004, pp. 183, euro 14,50 euro) e non taceremo a proposito degli errori logici, che forse sono paradossi, modi dell’apertura; anche perché l’errore è di calcolo, pragmatico e non logico, come insegna Armando Verdiglione.

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Z. Serebriakova, "Nudo", 1930, pastelli su carta, Collezione René Guerra, Parigi

Non si capisce in che cosa aggiungere un livello in più alla matematica, fondando la metamatematica, blocchi la serializzazione di altri livelli metametamatematici e così via. Non c’è limite all’infinito potenziale che non inciampi comunque nel paradosso di non contenere se stesso o in quello di affermare come vera la propria falsità.

La metamatematica, che non esiste se non come sconfessione della matematica, che già è di difficilissima definizione, è "n+1" rispetto alla matematica presa come "n".
Aggiungere un livello al livello incompleto e incoerente "n" non risolve nessuna difficoltà sulla natura di "n". Aggiungere "meta" alla matematica lascia incambiata la matematica in questione, quella definita da Kurt Gödel con i suoi teoremi d’incompletezza.

Come funzionano le matematiche? Un pugno di assiomi più una manciata di regole deduttive producono una serie di conclusioni vere. E così tutte le conclusioni false vengono escluse.

Il tentativo di Frege, Dedekind, Cantor è quello di fondare la matematica senza più contraddizione. Il sogno è il sistema coerente e completo. Coerenza (non contraddittorietà) e completezza dimostrabili. Invece risulta l’indimostrabilità.

E con Gödel è dimostrata l’incoerenza e l’incompletezza delle teorie matematiche fondamentali. Mentre il sistema semiotico e matematico nell’opera di Peirce fa acqua dall’apertura delle categorie all’ipotesi retroduttiva della conclusione.

Non c’è nessun garante dell’assiomatica e non c’è nessuna meta-assiomatica che garantisca l’assiomatica. Anche perché la meta-assiomatica che garantirebbe l’assiomatica di funzionare senza contraddizione è incoerente e incompleta.
L’incoerenza e l’incompletezza vengono solo spostate un po’ più in là.

Martin Heidegger fa il percorso inverso (ma si tratta di un cerchio, come ha notato Gödel): dal sapere comune in filosofia, che è il colmo e l’apoteosi del metalinguaggio, del linguaggio sul linguaggio, toglie un livello per eliminare l’incoerenza e la contraddittorietà degli strati che hanno coperto la verità per disvelarla nuda e cruda. Erotismo che riesce a Martin Heidegger, promosso a posteriori dalla sua eroina nuda e cruda.

Jacques Derrida ricalca l’itinerario circolare di Martin Heidegger e decostruisce i saperi. Direbbe il logico ironico Kurt Gödel che gli umani fanno un passo nel futuro per ritornare dal passato in tempo a uccidere o uccidersi.

Gabriele Lolli insegna logica matematica presso l’Università di Torino. Nel libro Da Euclide a Gödel scrive: "i teoremi di incompletezza di Gödel costituiscono una delle più importanti acquisizioni scientifiche del ventesimo secolo. La grande risonanza che hanno destato al loro apparire si deve al fatto che in essi hanno trovato soluzione problemi secolari". La soluzione trovata da Gabriele Lolli, e da altri logici, è la metamatematica.

"Il metodo è la metamatematica, cioè l’aggiunta all’arsenale dei principi dimostrativi della considerazione dei linguaggi in cui sono formulate le teorie e delle relazioni tra le stesse e i loro modelli" (178).

Come leggere gli assiomi, i principi dimostrativi, le argomentazioni primitive, i postulati originari, i lemmi primordiali? E la questione che resta da analizzare sarebbe come tale lettura dell’assiomatica matematica (ma anche teologica, filosofica, letteraria...) sfugga alla contraddittorietà, al malinteso, alla menzogna del significante.

Per dirlo con i termini della logica ironica, noi siamo metamatematici, ovvero leggiamo le assiomatiche delle varie scienze, cioè consideriamo i linguaggi in cui sono formulate le teorie e anche il loro intertesto logico e politico.

Il titolo stesso del libro del matematico Gabriele Lolli è incoerente e incompleto, certamente non scritto in linguaggio metamatematico. Oppure è scritto in linguaggio metamatematico, ossia in un modo comune e presunto senza incoerenza e contraddizione.

È come avere scritto un libro dal titolo ironico Da Aristotele a Freud. Come se ci fosse un elemento del loro itinerario in comune. Un titolo così lascia intendere che c’è qualcosa nel secondo che già c’era nel primo. Certamente, potrebbe essere un paradosso che nessuno dei due ha analizzato, ma il senso va in quello delle "importanti acquisizioni scientifiche" e non dell’inanalizzato.

Un titolo molto più interessante sarebbe Da Leonardo a Gödel, perché con Gödel la logica aristotelica si dissolve come la rappresentazione di un sintomo, quello del sogno di padronanza greco, quello portato a realizzazione dal macedone Alessandro.
L’assiomatica (titolo più preciso sarebbe "postulematica") di Euclide, ossia le sue nozioni di punto, linea, superfice e volume, che arrivano tali e quali anche nello scritto Punto, linea e superficie di Kandinskij.

Homo sanza lettere e sanza mathematica, Leonardo s’accorge che si tratta proprio di postulati lignei, appartenenti a Euclide come personaggio. E compie un’altra lettura del punto, della linea e della superficie: non accetta l’algebra del punto d’Euclide, non trova nell’originario la linea come serie di punti o sommatoria.

Gödel non fornisce con i suoi teoremi la base per la metamatematica che renda coerente e completo l’apporto di Euclide, ma dissolve la logica euclidea. E non nel senso che la sua sia una logica non-euclidea. Il teorema di Gödel possiamo scriverlo così: non c’è più Euclide", perché non c’è mai stato se non come personaggio creato dai suoi scriba. Come è il caso anche di Pitagora e non solo. E restituire il testo di Euclide come autore (non più come personaggio in cerca d’autore) resta da fare.

È incoerente e contraddittorio scrivere "Da Euclide a Gödel" da sembrare un titolo non proposto dall’autore Gabriele Lolli ma da qualche pubblicitario attento ai tic che funzionano per le vendita e per la lettura ordinaria. E il discorso pubblicitario è incoerente e contraddittorio, ironico, e per questo efficace.

Da Euclide a Gödel: un paralogismo.

Se ci fosse un legame logico tra gli assiomi e i teoremi, la verità non sarebbe un effetto del fare, dell’esperienza, ma sarebbe già data, velata, e da disvelare. E Gödel "svela" che la logica euclidea, figlia della logica aristotelica, che arriva sino all’equazione dell’universo di Einstein, si divora la coda: non è altro che l’impossibile formalizzazione teorica dell’animalismo, del paganesimo, della messa a morte del padre al posto del parricidio strutturale introdotto da Freud, che per l’appunto non ha nulla di aristotelico o di euclideo.

Diciamo chiaramente che Einstein scompone l’universo in volume, superficie, linea e punto. E il punto d’appoggio di Archimede lo trova in Euclide. La linea temporale che è alla base della formula di Einstein è costruita come serie di punti, e ovviamente la serie di linee parallele costituirebbe la superficie universale e la serie delle superfici parallele costituirebbe il volume universale. E oggi la serie di volumi universali costituisce il serbatoi delle teorie non standard dell’universo (funzionali alla teoria standard).

Ebbene, Gödel scrive all’amico Einstein che con questa assiomatica della linea è possibile viaggiare nel futuro e ritornare dal passato in tempo per uccidere il padre prima d’essere generati.

In un’altra occasione, Einstein si è attenuto alla logica ironica, proprio attribuendola a Gödel mentre all’esame per ottenere la nazionalità americana s’impegnava a dimostrare che la costituzione americana poteva "logicamente" permettere un fenomeno come il nazismo (per rispondere alla domanda senza ironia, motto di spirito, umorismo e riso, del presidente della commissione che gli chiedeva se la cosa fosse possibile).

Apparentemente, Lolli è un "geometra" che ha aggiunto un guscio all’uovo incoerente e incompleto. Ma più che un uovo (rotto) i cui pezzi sarebbero da assemblare in un altro guscio: "le catene si formano nel brodo primordiale per segmenti progressivi. Allo stesso modo, le catene di ragionamenti e le teorie si formano cucendo brandelli sviluppati in modo indipendente" (49).

Il segmento è un segmento di linea? È un segmento di una serie di punti euclidei? Chi cuce i brandelli? Quale Dio salda le catene? Il brandello è "un’assiomatica locale". Il localismo è fatto di brandelli sbrindellati. La logica particolare impedisce il particolarismo, tale sarebbe il localismo.
In breve, gli umani non si costruiscono come le case, sebbene sappiano come fare a edificarle.

"Dualità e definizioni implicite sono due degli indizi, emersi nello sviluppo della matematica, di una sua natura assai più reticente e misteriosa della semplice descrizione rigorosa di una realtà precisa" (52).
Dualità che è una serialità. È già il primo sviluppo dell’infinito potenziale. E la natura reticente e misteriosa è l’incognita data come cognita potenziale.

Come evitare la definizione per astrazione quando le cose, mai implicite, entrano nella piega della parola?

Gabriele Lolli opta per l’interpretazione infinita: "Gli schemi formali, dunque le teorie matematiche, hanno diverse interpretazioni, tante interpretazioni" (58). Ma solo togliendo lo zero, le interpretazioni sono infinite oppure vanno limitate.

"Le teorie non parlano di niente perché parlano di tutto, di tutto quello che può soddisfare gli assiomi" (58). Appunto, la dittatura degli assiomi. Gli umani che lavorano per soddisfare gli assiomi. Ma chi è l’assiomatore? Chi l’inventore ignoto dell’assiomatica?

Il dio creatore dell’assiomatica potrebbe, se esistesse, essere maggiore o minore e avere tutti i gradi dell’ontologia algebrista e geometrista, sino all’Essere supremo e all’Avere supremo, e rimarrebbe un idolo del paganesimo.

Dio non assiomatizza, non matematizza, non algebrizza, non geometrizza. E per rispondere a Einstein, Dio gioca, non sappiamo se a dadi, ma certamente Dio gioca, ossia opera.

Gabriele Lolli pare rimproverare gli usi politici dei teoremi d’incompletezza di Kurt Gödel, ma è affascinato dalla "pluralità di interpretazioni possibili" (59), ovviamente "contro" l’univocità di una sola interpretazione necessaria.

La questione non pare facile, eppure è semplicissima. Sia Jacques Derrida con l’interpretazione infinita sia Umberto Eco con i limiti dell’interpretazione non hanno capito nulla che questa interpretazione chewingum è il resto dell’impossibile evitamento dello zero.

Lo zero errante, equivocante è interpretante e non muore: il cominciamento non ha fine né limite. Lo zero non è temporale. Sono inattribuibili il limite e l’infinito allo zero.
Lo zero a disposizione di Derrida e di Eco, di Rotman e di Seife, di Lacan e di Ouaknin, è lo zero dello zero. Lo zero psicosomatodinamico! Lo zero vertiginoso, divino, quindi abissale, demoniaco.

Gli assiomi sono definizioni per astrazione lungo l’itinerario di ciascuno. Quindi, non "a ciascuno la sua interpretazione", come auspicano gli acefali per garantire che l’autocefalia sia divina, ma "a ciascuno la sua assiomatica". Senza più nessuna credenza che la base del valore sia uno strumento del soggetto.

Nel caso della rinuncia alla sovranità e al valore di ciascuno, allora s’instaura d’un colpo il luogo comune, il postulato sociale della “perienza” in luogo dell’assioma dell’esperienza. Infatti, tolto lo zero, tutto gira in tondo e si svolge nel perimetro infinito, quindi delimitato. Il poro al posto del foro.

"Gli assiomi sono come le premesse di un sillogismo" (60). Tali sono i postulati dei postulanti al posto che faccia riferimento al punto fisso, euclideo.

"Il discorso matematico si svolge allora come il discorso naturale" (60). La natura sarebbe l’autorità e la legge degli assiomi. Appunto, la natura o Dio che l’ha naturata.

La metalogica, la metamatematica, il metalinguaggio risponderebbero alla domanda: "chi assiomatizza?". Marina Cvetaeva si chiede: “Non è solo uno, Dio, vero? Sopra ce n’è un altro di Dio?”.

"Non c’è mai un solo significato possibile per gli assiomi formali" (62). Così l’impossibilità è la forma dura dell’evitamento dello zero e la possibilità è la forma molle dello stesso evitamento.

La lettura originaria richiede l’instaurazione dello zero nella sua funzione di non dell’avere, anche del non avere nessun significato e nessuna interpretazione (possibile o impossibile).

"Come leggere" è lontanissimo dal come interpretare. "Esistono sempre infinite interpretazioni, se ne esiste almeno una; magari sono isomorfe tra loro, ma pur sempre diverse" (63). L’una, le molte o le poche sono frutti della nomenclatura, che nel linguaggio di Eco si chiama la comunità degli interpreti.

Ma sullo zero originario nessuna comunità s’impianta, s’ingenealogizza, si fa passare per necessaria, naturale. Lo zero non c’era a Atene. E rimane da leggere se oggi lo zero sia giunto nel cuore del testo greco, oltre che a Torino con Peano.

Gabriele Lolli coglie che "il successo anche travolgente di una teoria" (66) non è impedito dalle incoerenze. Anche perché i postulati del successo non sono quelli delal logica di vita, bensì quelli del discorso della morte.

Gottlob Frege nelle Grundlagen der Geometrie: "Assiomi e teoremi non possono dunque mai stabilire per la prima volta il significato di un segno o di una parola che ricorra in essi. Attribuisco il nome di assiomi a enunciati che sono veri, ma che non vengono dimostrati perché la loro conoscenza scaturisce da una fonte conoscitiva di natura extralogica, che possiamo chiamare intuizione spaziale".
Il dio algebrista e il demone geometrista sono alle porte.
Il segno non significa. E la volta non sta nell’ordinalità.
"Resta da sapere che cosa sono i numeri naturali" (84). Ovvero come dissipare la presunzione di naturalità del numero, della logica particolare.

"Quel punto iniziale che sono le leggi della somma e del prodotto" (84). Così ogni elemento di vita entra nella grammatica, nell’algebra, nella significazione comune data dai postulati.

Se A... Dato A... A... A non potrebbe che entrare nelle leggi della somma e del prodotto. L’uomo enumerabile. Homo numericus. Uomini come numeri. E poi, numeri come uomini: numeri umanizzati delle legioni di numerologie.

A non è dato. Le cose vanno e vengono e non sono date. Non esistono ontologicamente.
Senza più ontologia circolare e autodivorante, A entra nella tripartizione del segno: come nome, significante e Altro. E la tripartizione del numero è in zero, uno e transfinito.

Quello che non è A, è il significante rimosso, che funziona, e risulta ineliminabile come rappresentazione del terzo, dell’Altro.

Tra la funzione di A e la funzione di non A c’è la funzione di Altro, la funzione temporale. E nell’intersezione tra il simbolo e la lettera c’è la cifra, la qualità, l’effetto vuoto, incompleto, incoerente.

Il simbolo è incodificabile. La lettera è indecidibile. La cifra è insignificabile.

Allora, dire come fa la sillogistica o la matematica: dato A... Se A... Dire che A è dato corrisponde a partire da uno. Mentre A procede dal due per entrare nella tripartizione del numero.

Dire "dato A" è dire che A è già codificato, deciso, significato. Allora occorrerebbe la decodifica, la ricerca della lettera rubata e la decifrazione. E ci sarebbe la metodologia: deduttiva, seduttiva e retroduttiva.

La matematica si esercita con il metodo ipotetico-deduttivo, la filosofia e la letteratura si addestrano con il metodo ipotetico-seduttivo, e gli animali impolitici, fantastici, inclassificabili, come Machiavelli e Peirce, si cimentano con il metodo ipotetico-abduttivo.

La modernità comincia con Dante che non accetta il principio di non contraddizione, con Machiavelli che non accetta il principio d’identità e con Freud che non accetta il principio del terzo escluso. Ma la non accettazione è il preambolo dell’itinerario.

E tuttavia, gli umani accettano i postulati della schiavitù, che si riassumono in quello della datità degli elementi. E tuttavia gli umani circolano. E trovano che il mondo finirà nel gelo universale, oppure nell’ironia di Gödel, vanno oltre il gelo, seguendo la linea del tempo, e ritornano accaldati dal passato in tempo per eseguire un raggelante omicidio del padre prima di essere generati, ovvero un suicidio.

L’epoca non è riuscita a digerire Gödel, perché l’opinione comune non può uscire della presunta circolarità. E cerca di trovare l’origine dello splendore della sua linea, che è di partito, di chiesa, di armata. Cerca l’istante zero. Insegue la conoscenza dello zero.

C’e l’ha quasi fatta: "La situaziona ricorda quella delle teorie cosmologiche del big bang, grazie alle quali si sa tutto sulla storia dell’universo a partire da 10 -33 [dieci elevato a meno trentatre] secondi in avanti, ma non cosa ci fosse prima" (84).

Impensabile il tempo zero, l’istante zero, lo zero. E l’uno non è il successore dello zero.

La datità permette le definizioni per ricorsione. La credenza nel fatto, nel "dato immediato" (85). Fattualità del cerchio e della circolazione degli umani.

Eppure basta dire che Peano era "assiomatizzatore" (86), e accorgersi che è anche il caso di Dante, di Freud, per introdursi alla logica particolare e non più universale, non più collettiva (l’universo in formato ridotto, portatile).

Jacques Lacan chiamava l’assiomatizzazione "nominazione", che ha offerto l’esca a Armando Verdiglione per la teoria della logica della nominazione.

Insomma, formulato nella logica ironica: andando all’indietro, nel passato, alla ricerca dello zero, ci si ritrova nel futuro; andando nel futuro alla ricerca dell’infinito ci si ritrova nel passato. In entrambi i casi gli esempi sono legione.

Gabriele Lolli, come logico matematico, è tentato dalla logica ironica di Gödel, ma sembrerebbe quasi un vezzo editoriale, invece è la via più interessante, quando scrive, per esempio, come titolo del terzo capitolo del libro: "Aspettando Gödel", copia impossibile del modello "Aspettando Godot". Chi aspetta Gödel? Il lettore? O lo scrittore di matematica?

"Da una contraddizione segue qualunque cosa, per legge ex falso quodlibet, e quindi una teoria contraddittoria è banale, tutto il lavoro fatto per svilupparla un love’s labour lost" (88). Dante non ci pare banale.

"Potrebbero esserci diversità non esprimibili nel linguaggio della teoria" (90). Per esempio, l’articolo che stiamo scrivendo.

"Non ci sono dimostrazioni assolute, sono tutte relative alle assunzioni e alle regole" (98). L’assolutismo, sebbene dato come ideale, e il relativismo sono due facce dell’assenza di assoluto e della relazione.

Quindi la dimostrazione, ossia l’impossibile tentativo di togliere la sembianza (la mostrazione), è data dalle assunzioni (postulati) e dalle regole (del discorso o paradigma greco).

La dogana delle assunzioni e delle regole cerca di padroneggiare la logica delle relazioni per farne una doppia serie di legami sociali, alti e bassi, ricchi e poveri, grassi e magri.

La non contraddittorietà della matematica non è stata dimostrata in modo assoluto.

Certo, leggendo Gabriele Lolli si avverte che la comunità matematica fa fatica a ammettere la "pluralità di modelli" e che "chi propone di prendere sul serio la metamatematica è bollato come un logico, un formale, un formalista" (104).

Per ammettere la matematica come aspetto del funzionamento della resistenza dell’uno che lascia come resto il mathema, la lettera (per questo nell’alfabeto ebraico, oltre che in quello greco, le lettere sono cifre), ci vorranno millenni.

Come può un matematico oggi intendere l’enunciato: "non c’è metamatematica perché non c’è resistenza della resistenza"? Quale resistenza? Per esempio quella dell’uno a entrare nei postulati della logica di Aristotele.

Descrizione o costruzione? Modelli isomorfi e modelli non standard? Anima assiomatica o anima contenutistica? Sistema di cose o di concetti?

"Solo un’anima bella può pensare di conciliare le due anime parlando di «costruzione assiomatica» [sic] - si sente anche questo nel clima di confusione mentale post-bourbakista" (106).

Intanto rispetto al pool di matematici Bourbaki, che affiggono gli "elementi" nel titolo dell’opera, come Euclide, non si trova la teoria dell’elemento, quella che Lolli e altri chiamano la metateoria o metamatematica. I postulati annunciano alcuni elementi come "dati". Non c’è nessuna analisi di "A" e dei modi di annunciare la sua datità: se A, dato A, A...

Occorre rendere compatibili le diverse teorie parziali della matematica, come nella fisica si cerca di farlo con le teorie della relatività e della meccanica quantistica?
La teoria capra e cavoli (107), la costruzione assiomatica? Come ogni uno sarebbe fondato dall’uno primordiale?

Tolto lo zero: la capra e i cavoli, e non solo! Tolto lo zero, c’è lo zero potenziale e l’infinito potenziale. La vertigine dell’inizio e l’abisso dell’infinito. Il big bang e il buco nero. Babbo natale che feconda la vergine Pamela e nasce Capracavolo, l’altro nome del Soggetto. E l’ipotesi del continuo è valutata con serietà dalla comunità dei giganti della montagna in una convergenza parallela con gli scalognati della piana.

L’assioma procede dall’incompatibile, non dalla teoria unica. Non ha torto Gabriele Lolli a irridere la "costruzione assiomatica", e tuttavia in "logica ironica" la questione è posta: le cose, anche nella matematica, come cominciano se gli assiomi non sono già scritti?

Chi è il costruttore se non è divino né diabolico? Ecco l’ipotesi abduttiva. Costruttore è lo zero. Distruttore è l’uno. Industriale è il transfinito. Formatore è l’oggetto. Trasformatore è il tempo.

Senza lo zero c’è la fabbrica dei doppi, non solo nella matematica o nell’astrofisica, anche nella letteratura, nella teologia, e nella cronaca, come ognuno sa. E ognuno (ogni uno) è omicida e suicida: omicida dello zero e suicida dell’uno.

Per esempio, l’assioma di completezza, anche in Tarski è un postulato, anzi una serie di postulati.

Gabriele Lolli ha chiaro che "la riduzione insiemistica, accompagnata naturalmente dalla pratica di lavorare all’interno di una fissata, convenzionalmente, teoria generale e all’interno di un modello di teoria, è un impoverimento artificioso della matematica" (111).

Chi dimostra la dimostrazione. Quale dimostrante? Quale rappresentante della rappresentazione? "Ma come fare una dimostrazione relativa alle dimostrazioni?" (118). Tale questione introduce al nuovo libro di Gabriele Lolli, QED. Fenomenologia della dimostrazione (Bollati Boringhieri, 2005, pp. 182, € 22).

"La non contraddittorietà dell’aritmetica è la proprietà che nessuna dimostrazione - fissati gli assiomi, ad esempio quelli di Peano - termina con 0 = 1" (118). Resterebbe da fare la dimostrazione ironica che ogni teoria non contraddittoria implica proprio che 0 = 1.

Anche la dimostrazione come una catena di liste strutturate di simboli rimanda a un cominciamento della catena, che per altro non è mai esistito ordinariamente.

L’altra faccia della logica è l’industria, il fare. L’incompletezza della logica è il modo d’introdurre l’esigenza del fare quando la logica è presunta completa.

Lacan introduce la mancanza a essere al posto del fare. Certamente gli umani evitano il fare, sperando nella genealogia, nella predestinazione positiva.
Non a caso, Gabriele Lolli la chiama "la desiderata completezza" (122).

L’incompletezza, l’indecidibilità, l’indecodificabilità, l’indefinibilità, l’insignificabilità hanno statuti differenti.

E’ per l’incompletezza che la verità non è logica, come invece presume ancora Tarski, ma l’effetto del pragma. E Peirce inventa il pragmatismo proprio per l’incompletezza della logica.

Alfred Tarski arriva a sfiorare la non definibilità della verità per l’aritmetica.

Il risultato di Gödel, secondo Lolli, è quello di una funzione che "non è definibile in modo da poter essere rappresentata da una formula aritmetica" (132). Formula che implica la possibilità della zeroficazione, dell’uguaglianza a zero.

Una funzione non rappresentabile da una formula aritmetica è quella che Freud chiama "funzione di rimozione". Funzione definita per astrazione. Assioma. Numericamente, algebricamente, geometricamente irrappresentabile.

La definizione per astrazione indica che la "finizione" numerabile all’infinito non finisce mai, ma non nel senso che il cerchio giri sempre, ma in quello di "non c’è più cerchio".

Per intendere, Lacan trova uno sbocco dal cerchio nel nodo borromeo, che non è una catena di tre cerchi, sebbene, pur nell’impossibile rappresentazione, ammetta ancora l’ipotesi del costruttore, il fabbro che avrebbe operato la saldatura.

C’è definizione perché lo zero funziona (e il resto è indotto dalla pulsione). C’è conclusione perché il tempo non finisce, e l’aritmetica è il pragma non più descrivibile dai numerali: più nessuna successione di colpi per giungere al colpo grosso, completo.

"Poiché esiste un enunciato indecidibile, la teoria è incompleta" (138). L’analisi è questa assenza di soluzione data da una ideale completezza e perfezione.

La logica, e non solo le teorie della logica, è incompleta perché la sua altra faccia è il pragma, ovvero le cose si fanno e non sono tutte già scritte nella logica deduttiva.

Se la matematica è la lezione che si trae dall’esperienza e in tal senso è la lezione che si insegna e si trasmette nel matema, la logica in cui trova il suo statuto la matematica è particolare e non generale.

La cosiddetta logica matematica scambia il particolare con il locale. E il localismo quale base dell’universalismo tratta gli umani come numeri sino allo sterminio dei subnumeri, affinché si affermi la superiorità dei numeri naturali.

La teoria locale, massimale o minimale, anche nei governi degli umani (le teorie locali estese al pianeta si chiamano imperialismi), ha sempre come orizzonte la soluzione finale.

In tal senso, la metamatematica è il tentatico di de-localizzare il locale e quindi non fa che santificarne la credenza. Si possono aggiungere +1 all’infinito rimanendo sempre nel localismo.

Gabriele Lolli è alle soglie della logica particolare. E Gödel è una di queste soglie. Non ci pare che lo sia Turing.

"E’ illusorio cercare di privilegiare dei metodi per ragioni filosofiche" (143), che risulterebbero quelle di una genealogia sociale di potere.

Il procedimento non effettivo è quello che gira all’infinito. Il procedimento ffettivo è quello che giunge a conclusione, senza più il fantasma di padronanza lineare e circolare. Il procedimento effettivo è la porta della procedura.

"L’incompletezza si riferisce dunque non a particolari prodotti dell’attività matematica, ma all’attività matematica stessa" (146). Rimane valida la domanda di quale sia la logica e l’industria della matematica.

Ecco la torta matematica più nota, la millefoglie. "Esiste una gerarchia infinita di problemi sempre più complicati, o sempre meno effettivamente dominabili; e al di sopra di tutti esistono poi insiemi, come quello degli enunciati veri in N [numeri naturali], che non sono neanche definibili da formule aritmetiche" (162).

E per noi che siamo pasticceri, tecnici e non filosofi, e abbiamo a disposizione "solo" la logica ironica di Dante e di Machiavelli, di Gödel, di Sade, di Hubert Aquin, di Lacan, di Verdiglione, di Robert Richard, e infiniti non finiti altri, lo strato superiore della millefoglie non ha nessun privilegio rispetto agli altri strati del palinsesto, ciascuno essenziale.

Nessuno strato può dirsi ottenuto aggiungendo uno, perché la successione è senza precedenti. Infatti, dice con ironia Machiavelli: nessun tiranno ha mai ucciso il suo successore (ma sempre esolo il presunto).

Le gerarchieinfinitenon sonoancora l’assenza di gerarchia. Lontanissimo è il teorema: non c’è più genealogia.

"Se esistesse la struttura N e fosse chiara alla mente, allora la problematica della non contradittorietà non avrebbe senso, come non avrebbe senso porre l’ipotesi della non contraddittorietà della teoria, ché se i suoi assiomi sono veri in N essa è certamente non contraddittoria"(165).

Esatto. Si tratta quindi di ipotesi gnostiche appese all’albero della conoscenza del bene e del male, se esistesse.

Qual è la matematica che procede dall’albero della vita e non dalla gnosi?

Sia la capra che il cavolo sono ricordi di copertura della questione di vita. Infinita è l’algebra della capra e infinita la geometria del cavolo, addirittura riempiono le università del pianeta, che sono senza umorismo (senza zero), senza motto di spirito (senza uno), senza riso (senza transfinito). Ma si può sghignazzare di tutto (con il metazero, il metauno e il finito o infinito potenziale).

Certamente "ogni nuovo enunciato dovrebbe essere falso" (165), poiché la logica nascerebbe vecchia, postulata.
Eppure l’atto di Cristo è originario, sebbene ogni nuovo messia sia falso.

Così, l’enunciato di Gabriele Lolli, "ogni nuovo enunciato dovrebbe essere falso", procede dal falsus, dall’instaurazione del punto di caduta, dallo specchio non domestico. E ognuno s’impiega a ricorrere all’economia del falso per operare nell’avvenire meraviglioso del vero.

Anche la domanda "Ma perché si è tanto cercata una dimostrazione del teorema di Fermat?" (166) non viene dalla logica deduttiva applicata alla dimostrazione, ma dalla logica abduttiva, cioè ironica. E pone la questione della cifra, della qualità di vita.

"Chi ci assicura che la totalità dei metodi dimostrativi, delle strategie, e delle assunzioni relative, sia non contraddittoria?" (176). Nessun Dio che algegrizzi o geometrizzi. Nessun delegato superiore dei forti e nessun delegato inferiore dei deboli, perché la millefoglie che entrambe le parti appetiscono non c’è più, non è mai stata appesa all’albero della conoscenza del bene e del male, del resto anche l’albero della gnosi non è mai esistito, se non come ricordo schermo dell’originario.

Il continuo è un golem matematico. Una creazione fantastica. Quanto conta che il golem sia decidibile o indecidibile, quando il golem non esiste? Ma il golem esiste come significante, come nome e come altro dal significante e dal nome; e un itinerario intellettuale potrebbe debuttare anche con un’indagine attorno al golem o al continuo.

E così, "gli interminati spazi di nuova ignoranza" che arricchiscono "la nostra conoscenza" (178) sono la sostituzione impossibile del pragma, delle cose che occorrono fare, secondo la logica particolare a ciascuno. Secondo il numero. Secondo l’illustre volgare. Secondo l’inconscio. Secondo la scienza della parola.

"Il metodo è la metamatematica, cioè l’aggiunta all’arsenale dei principi dimostrativi della considerazione dei linguaggi in cui sono formulate le teorie e delle relazioni tra le stesse e i loro modelli" (178)?

La questione risiede nell’aggiunta. Qual è la teoria del supplemento? Aggiungere, togliere? Costruire, decostruire?
Jacques Derrida, filosofo e non matematico, ha una teoria semplice del supplemento, che in una prima lettura sembra molto difficile e complessa, e che parte dalla morte del padre, dalla morte della scrittura, dalla morte della materia: c’è solo la sostanza della sua faracia di Platone, ora farmaco ora droga.

Se le cose sono già scritte, anche in caratteri matematici, non resta all’uomo che aggiungere un supplemento, oppure togliere i supplementi non conformi alle nuove e vecchie dogane dei supplementi.
Il supplemento non è originario. E proprio per questo non toglie nulla all’originario.

Si tratta forse di "far emergere i concetti dalla contemplazione dei sistemi assiomatici che di volta in volta riassumono la nostra esperienza" (178)?
Ma non abbiamo nulla contro i sistemi assiomatici. Nessuna lotta contro il sistema se non come sua consacrazione in vista dell’ottenimento del positivo attraverso il lavoro del negativo.

Non possiamo avere e essere nulla contro i fantasmi di padronanza e di controllo, perché vanificata la padronanza e il controllo resta solo il fantasma, la copia inerte e inoperante dell’idea.

In tal senso, già la nozione di metamatematica, che resta inanalizzata nel testo di Gabriele Lolli, insegue la padronanza della matematica, solitamente attribuita all’altro (per esempio al sistemista assiomatizzante), al collega presunto sbagliare.

Forse la pratica universitaria mondiale volge nel riassunto dell’esperienza. Laurearsi oggi come ieri corrisponde a riassumere cento o duecento libri. Senza confrontarsi con il testo.

All’eccellentissimo archivista intellettuale Gabriele Lolli, la lettura del testo di Gödel introduce a questioni ancora più radicali. È in gioco la radice stessa della vita.

Giancarlo Calciolari, direttore di "Transfinito".

Prima pubblicazione: 7 giugno 2005.


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30.07.2017