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A proposito del libro di John W. Dawson jr, "Dilemmi logici. La vita e l’opera di Kurt Gödel"

Kurt Gödel, l’archivio e la traccia

Giancarlo Calciolari

Per Kurt Gödel l’aritmetica è coerente ma incompleta. E il sogno della completezza porta alla metamatematica e al metalinguaggio, che non esistono. Infatti la metamatematica per essere completa richiede un’altra metamatematica, ad infinitum. E l’infinito potenziale non raggiungerà mai il transfinito.

(16.12.2002)

John W. Dawson jr è logico e storico della scienza, professore di matematica alla Pensylvania State University. Nella comunità dei matematici è riconosciuto come la massima autorità a livello mondiale sulla vita e sull’opera di Kurt Gödel. È inoltre uno dei curatori dell’edizione delle sue Opere.

In parte, il lavoro di Dawson jr risponde alla domanda "Chi si occupa degli scritti degli uomini di genio?", ossia di coloro che proprio nei loro scritti e nelle loro opere hanno lasciato una traccia della scienza di vita e quindi dell’esperienza autentica. Gli editori, l’università, i ricercatori? Si tratta per lo più di ricercatori universitari. Com’è il caso di Dawson jr. L’accesso al baule di scritti lasciati da Gödel, e in seguito l’assunzione della loro cura e pubblicazione, è il pretesto e il testo dell’occasione per scrivere "La vita e l’opera di Kurt Gödel".

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Matteo Ruffo, "Senza titolo", tempera

Il libro di John W. Dawson jr, Dilemmi logici. La vita e l’opera di Kurt Gödel (Bollati Boringhieri, 2002, pp. 365, € 46,48) è molto interessante, ricchissimo di materiali sull’opera matematica, e non solo, di Gödel. Dawson è l’archivista di Gödel, nel senso più alto.

Certamente John W. Dawson jr è formato per occuparsi dell’opera e della vita di Gödel, e tuttavia, come accade oggi anche per via della formazione specialistica e settoriale, gli sfugge il caso clinico nella sua intellettualità. Le questioni difficili, come la paura di Gödel di essere avvelenato, sono trattate in modo psicopatologico, applicando un breviario psichiatrico di luoghi comuni. Ma per l’appunto, il grande pregio del lavoro di Dawson jr è quello di mettere a disposizione del pubblico gli inediti di Kurt Gödel.

Dawson jr lascia intendere che i problemi di tenuta intellettuale di Gödel sono dovuti alla radicalità nell’affrontare le questioni logiche. Per dedurne che Dawson jr non è paranoico perché non si pone le questioni logiche in modo altrettanto radicale? In effetti l’ipotesi del continuo non è mai messa in questione da Dawson jr. Quello che risulta essenziale è il lavoro di archivista, di curatore e di editore; e riguarda ciò che Dawson intende di quello che Gödel intende: si tratta di eccellenza intellettuale, secondo la formula di Machiavelli.

Kurt Gödel esplora in modo estremo l’ipotesi del continuo nelle sue implicazioni logiche. Rimane il dilemma: il continuo è un lemma di vita, in altri termini un assioma della logica, oppure è un postulato della vita parallela, un abbaglio, un enunciato patafisico?
Con i teoremi di incompletezza e di indecidibilità, Gödel pone il dilemma in luogo del sistema impossibile di tutti i lemmi, portando ad altre estreme conseguenze la ricerca di Cantor.

La gnosi, dall’episteme dei sapienti alla conoscenza delle religioni personali, trova nella nomenclatura (un sottoricoprimento finito della serializzazione della serie, da zero a x elementi, ma ancora di più: composto da infinite potenziali combinazioni, ivi comprese le infinitesime impotenze) l’animale fantastico di servizio al grande animale, l’animatore invisibile degli inanimati, il dio agente, che Nietzsche dichiarerà morto. Spesso l’animale di fantasia della gnosi è il cane, sino all’apoteosi nel cinismo: la società come governo di interno e di esterno, ministeri compresi e incompresi, di alto e di basso, di corpi e di scene, sarebbe un canile che dà in premio ossi e richiede ai migliori il massimo della caninità, ovvero la qualità di canaglie? In effetti questa è la società che Freud trova fondata sul crimine e sull’incesto, con grande scandalo delle nomenclature dell’epoca, che per altro ha aggiunto un po’ di piccante al pasto sostanziale e mentale, chiamato da Kafka "l’osso della caninità".

La nomenklatura, ossia il sistema di bande legali e illegali che gestiscono il pianeta, sopravvive sulla credenza di poter fissare lo spartiacque tra l’interno e l’esterno, tra il dentro e il fuori, tra il continuo e il discreto, tra il molecolare e il molare, tra il frattale e l’universo, tra il quadrato e il cerchio, tra il punto e la linea, tra la linea e la superficie, tra uomo e donna, tra animale e uomo, tra la vera vita e la falsa vita, tra il farmaco e la droga, tra il veleno e il rimedio. Eccetera.

Dal dilemma all’analemma - dall’animale di fantasia al dogma - questo è il percorso di Kurt Gödel; l’itinerario del matematico, dell’artista, dell’intellettuale, dello scienziato, dell’imprenditore, del poeta. Ciascun lemma è degno della ricerca linguistica: questa è la lezione di Freud. Anche la sbadataggine, il lapsus, il sintomo, il fantasma. Allora la fantasia di essere avvelenato implica la ricerca attorno al veleno, al rimedio, al farmaco, al capro espiatorio, al gregge, al lupo e alle pecore nere, alle pecore smarrite, ai caproni... Favole di vita. Parabole. Insegnamenti, per l’appunto matema e matematica.

Dawson jr racconta che Kurt Gödel è stato percosso a Vienna, prima di emigrare negli States, perché assomigliava a un ebreo. E in un viaggio di ritorno da Vienna, alla domanda di come la trovasse, Gödel rispose che il caffè era pessimo. Insomma, era quasi veleno. Mentre gli amici si aspettavano in risposta una analisi della politica del nazismo.

Non c’è nessuna follia, sragione o insania mentale nel caso di Gödel, come in ciascun caso, ma una questione di vita che si pone attraverso una fantasia, un lemma libero, non garantito, che nella sua esplorazione dissipa la gnosi e il suo impossibile impero doganale sul pianeta, sull’aria, sul sogno, sulle galassie.

La comunità - da quella dei matematici a quella dei comitati etici - è un postulato che si fonda sulla fantasia di controllo, sullo spartiacque affinché a ognuno sia negata la sua acqua, così importante per Talete di Mileto, e affoghi nel brodo comune e universale, così importante per la società del varietà. E apparentemente la comunità garantirebbe ai suoi membri di non naufragare.
Quindi la comunità dei matematici non può dissolvere l’ipotesi del continuo perché ci campa. E così, il ricercatore, l’archivista, il matematico, il genio risulterà per forza anomalo rispetto alla comunità dei simili. Le società algebriche creano e creeranno sempre i trombetti e i pappagalli di Gödel, che all’apoteosi della carriera potranno vincere e vinceranno il premio Kurt Gödel. Mentre John W. Dawson jr in qualità di archivista dell’opera di Gödel detiene il bandolo della matassa, ovvero si pone la questione intellettuale irrinunciabile.

Il confronto con il testo di Gödel è per Dawson jr essenziale. La partita è aperta. Altri scritti seguiranno.
Qual è il contributo di Kurt Gödel al dibattito intellettuale? Una bella e interessante risposta l’ha data Ernesto Battistella in Logica matematica e industria della parola (Spirali/Vel, 1996, pp. 261): Gödel "dimostra, sic et simpliciter, che una ’logica matematica’ - grosso modo, una logica predicativa che includa l’aritmetica di Peano - è incompleta (questo significa che ci sono proposizioni A tali che A e -A sono indimostrabili)". Ecco il dilemma, una figura del due, dell’apertura: dimostrare l’indimostrabilità, come farà poi anche Cohen. I teoremi d’incompletezza di Gödel constatano la non chiusura del due. Procedono dal dilemma.

Ci sono proposizioni indimostrabili. Gli assiomi stessi sono indimostrabili. Ciascuna volta la logica sarebbe perfetta e le premesse sarebbero sbagliate? E questa una definizione della paranoia utilizzata da Dawson jr. Tra l’altro è per un assioma contraddittorio segnalato da Russel che Frege lascia incompleta la sua fondazione logica, che avrebbe incontrato comunque il paradosso come indice dell’incompletezza, enunciata poi da Gödel.

L’assiomatica riguarda ciascuno. Le premesse sono condizione della missione, e non sono mai sbagliate logicamente. L’errore non è di logica: è di calcolo, e risulta strutturale nell’itinerario di ciascuno. E la messa, tra le premesse e la missione, ha due facce: la logica e l’aritmetica, la struttura e l’industria. Allora, se l’altra faccia della logica è la politica del fare, senza garante, c’è da vacillare, da non tenere psichicamente?

Certo, Kurt Gödel insiste sulla logica, al punto che all’esame per avere la cittadinanza americana, alla domanda se in America potrebbe prodursi un fenomeno come il nazismo risponde di sì, perché nella costituzione americana c’è una contraddizione... Eppure c’è poco da ridere del genio folle che avrebbe la testa tra le nuvole. Non è nazismo, ma come chiamare - per esempio - la creazione dell’uomo farmacodrogologico che disinnesca la vita degli umani? Un milione e seicentomila bambini "iperattivi" curati con il ritalin, sei milioni di uomini e donne "depressi" curati con il prozac: è questa la retta via, la qualità della vita, il capitale dell’esperienza?

Il continuo non esiste, come non esiste la genealogia, come non esiste la malattia mentale. Senza che si tratti di negazione dell’esistente: è questione di quello che non è mai esistito, se non come fantasma. Se esistesse la vita sarebbe già vissuta nel cerchio magico e ipnotico, dalla culla alla tomba. Dimostrare l’ipotesi del continuo sarebbe come dimostrare la quadratura del cerchio, come misurare il transfinito, come dimostrare l’esistenza dell’ereditarietà. Varrebbe a credere nei criminali nati, nei santi nati, nella razza con i suoi superuomini e subuomini.

Corrisponderebbe a dare un fondamento logico al razzismo.
Gödel intende che la dimostrazione dell’indimostrabilità dell’ipotesi del continuo di Paul J. Cohen non risolve il problema. A modo suo lo constata Dawson jr affermando che "il problema del continuo in sé, tuttavia, si è dimostrato finora inattaccabile". E rimane da leggere in altro modo il lavoro di Cohen: la sembianza è indimostrabile e la sua punta della qualità è il dogma stesso.

La non contraddittorietà della matematica resta indimostrabile, perché anche la matematica procede dalla contraddizione, dal due. E il due non è il due della gnosi, che si rappresenterebbe anche in due incognite da mettere in parallelo in una corrispondenza biunivoca. Non c’è proprio questa corrispondenza come doppia giuntura. La relazione, il modo stesso del due, è giuntura e separazione. E la separazione comporta l’inderivabilità per via di giuntura.

Georg Cantor non arriva a derivare aleph uno da aleph zero. La formula "due elevato a aleph zero è uguale a aleph uno" rimarrà indecidibile per Kurt Gödel.
La correlazione biunivoca, se esistesse, affermerebbe la vita parallela, quella di x = f(y). Infatti l’algebra della vita parallela presuppone l’incognita, la x, per fondare sul parallelismo la conoscenza convenzionale come scienza dell’esperienza. Il sillogismo di Aristotele adempie alla stessa funzione parallela. La funzione umana, quella di essere mortali, quindi la funzione che finisce, è il parallelismo impossibile della logica delle funzioni, che non ha nulla di "umano".

Per Kurt Gödel l’aritmetica è coerente ma incompleta. E il sogno della completezza porta alla metamatematica e al metalinguaggio, che non esistono. Infatti la metamatematica per essere completa richiede un’altra metamatematica, ad infinitum. E l’infinito potenziale non raggiungerà mai il transfinito.

Non c’è logica dell’aritmetica, e l’incompletezza riguarda l’innumerazione: come le cose si innnumerano; mentre se ci fosse la logica dell’aritmetica tutte le cose sarebbero numerabili e numerate. Del fare c’è la politica e non la logica, nel senso che la logica non garantisce la politica. La verifica e la dimostrabilità dell’aritmetica si attuerebbero per mezzo di un algoritmo, un’equazione in cui sarebbe possibile prevedere che avrà un termine. Questo metodo matematico pone la vita come un’incognita e cerca poi di dirne qualcosa con l’ipotesi di una vita parallela. Ma la vita parallela non raggiungerà mai la vera vita.

La vita come progetto e come programma, per ciascuno.
La dimostrazione risulta inanalizzabile per i matematici. Implica la sembianza della sembianza. È un fantasma materno. Al colmo del realismo del due più due fa quattro, la matematica non è né un’opinione né una teologia mancata, e risulta il modo di trasmissione del sapere. La deriva dell’uno, nella sua differenza da sé, rilascia il matema. Tutt’altro che la trasmissione tra due uno, ognuno identico a sé. E la ricorsività pertiene alla funzione di zero, non alla funzione di uno. Lo zero ricorre, ritorna, ma non come uno algebrico, bensì adiacente a un altro uno differente da sé. L’adiacenza è lo stesso transfinito.

Giancarlo Calciolari, direttore di "Transfinito".


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19.05.2017